Question

9．已知复数z=a+bi（a、b∈R⁺）（i是虚数单位）是方程x²-4x+5=0的根，复数w=u+3i（u∈R）满足|w-z|＜2$\sqrt{5}$，求u的取值范围．

Answer 1

分析 复数z=a+bi（a、b∈R⁺）（i是虚数单位）是方程x²-4x+5=0的根，代入可得（a+bi）²-4（a+bi）+5=0，利用复数的运算法则及其复数相等可得a，b．再利用复数模的计算公式即可得出．

解答 解：∵复数z=a+bi（a、b∈R⁺）（i是虚数单位）是方程x²-4x+5=0的根，
∴（a+bi）²-4（a+bi）+5=0，
化为a²-b²-4a+5+（2ab-4b）i=0，
∴a²-b²-4a+5=0，2ab-4b=0，
又a，b∈R⁺．
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a=2}\end{array}\right.$，
∴z=2+i．
∵复数w=u+3i（u∈R）满足|w-z|＜2$\sqrt{5}$，
∴|（u-2）+2i|＜2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（u-2）^{2}+{2}^{2}}$＜2$\sqrt{5}$，
化为（u-2）²＜16，
解得-2＜u＜6．
∴u的取值范围是（-2，6）．

点评 本题考查了复数的运算法则及其复数相等、复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．