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我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=
b2+c2,a>0,b>c>0。
如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点,M是线段A1A2的中点,
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求该 “果圆”的方程;
(2)设P是“果圆”的半椭圆(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点
B1,B2或A1处;
(3)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标。

解:(1)∵

于是
所求“果圆”方程为
(2)设P(x,y),则


的最小值只能在x=0或x=-c处取到,
即当|PM|取得最小值时,P在点B1,B2或A1处;
(3),且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上,
所以,由(2)知,只需研究P位于“果圆”的半椭圆上的情形即可,

,即a≤2c时,的最小值在时取到,
此时P的横坐标是
,即a>2c时,由于在x<a时是递减的,的最小值在x=a时取到,
此时P的横坐标是a;
综上所述,若a≤2c,当|PM|取得最小值时,点P的横坐标是
若a>2c,当|PM|取得最小值时,点P的横坐标是a或-c。
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

我们把由半椭圆数学公式(x≥0)与半椭圆数学公式(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点,M是线段A1A2的中点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程;
(2)设P是“果圆”的半椭圆数学公式(x≤0)上任意一点.求证:当|PM|取得最小值时,P在点B1,B2或A1处;
(3)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

图6

我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.

如图6,点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A1A2的中点〕

(1)(理)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.

(2)(理)当|A1A2|>|B1B2|时,求的取值范围.

(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点B1、B2或A1处.

(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,请说明理由.

(文)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

我们把由半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0).如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2是“果圆”与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为

A.,1               B.,1               C.5,3               D.5,4

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科目:高中数学 来源:2007年上海市高考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如图,设点F,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点,M是线段A1A2的中点.
(1)若△FF1F2是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程;
(2)设P是“果圆”的半椭圆(x≤0)上任意一点.求证:当|PM|取得最小值时,P在点B1,B2或A1处;
(3)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

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