Question

将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E、F分别为AC、BD 的中点，则下列命题中正确是

①③④

（填上你认为正确的所有答案序号）
①EF与AC和BD都垂直；             ②EF∥AB；
③AC垂直于截面BDE；               ④当四面体ABCD的体积最大时，AC=

6

．

Answer 1

分析：画出图形，利用翻折前后线面关系，角的关系，逐一分析各个选项的正确性，把正确的选项找出来．

解答：解：由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，且EF⊥AC，故①正确；
如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故②不正确；
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故③正确；
当四面体ABCD的体积最大时，因为等边△ABD的面积为定值，
故面SBD⊥面ABD，CF为四面体的高，
AC=

CF2+FA2

=

3+3

=

6

，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化．