Question

已知函数f（x）=，（x≠0）（a≠0）．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当a＞0时，函数在（0，）上单调递减，在上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）若函数f（x）在区间内有反函数，试求出实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（-，0）及（0，），
②当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞），
③当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-）及（，+∞）．
（2）由题设及（1）中③知=且a＞1，解得a=3，
因此函数解析式为f（x）=（x≠0）．
（3）1#当a（a-1）＞0即a＜0或a＞1时
由图象知≥解得a∈（-∞，]∪[，+∞）
2#当a=1时，函数为正比例函数，故在区间内存在反函数，所以a=1成立．
3#当a（a-1）＜0，得到＜，从而得a∈（，）
综上a∈∈（-∞，]∪（，）∪{1}∪[，+∞）
分析：（1）讨论a，分为a＜0，0＜a≤1，a＞1，从而得到函数的单调区间；
（2）根据（1）中a＞1时的单调区间可知=且a＞1，解得a的值；
（3）欲使函数f（x）在区间内有反函数即在该区间上单调，讨论a（a-1）的正负可求出所求．
点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数的反函数，同时考查了不等式的解法和计算能力，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．