Question

已知函数f（x）满足f(x)=ln

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定义域；判断f（x）的奇偶性及单调性并给予证明；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0得函数f（x）的定义域；由f（-x）=-f（x）可判断其奇偶性；利用单调性的定义即可证明其单调性；
（2）利用f（x）在x∈（-1，1）上的奇偶性将f（1-m）+f（1-m²）＜0转化为f（1-m）＜f（m²-1），再利用单调性将
函数符号脱掉即可．

解答：解（1）由

1+x

1-x

＞0得函数f（x）的定义域为（-1，1）…（2分）
∵f(-x)=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-f(x)，所以f（x）为奇函数…（4分）
任意x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=ln(

1+x1

1+x2

×

1-x2

1-x1

)-------------（6分）
∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，
∴0＜1+x₁＜1+x₂，0＜1-x₂＜1-x₁------------（7分）
∴0＜

1+x1

1+x2

×

1-x2

1-x1

＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）为（-1，1）上的递增函数-------------------------------------------------------（9分）
（2）由（1）可知原不等式变形为f（1-m）＜f（m²-1），
又f（x）为（-1，1）上的递增函数，
∴原不等式满足-1＜1-m＜m²-1＜1，---------------------------------------（11分）
∴m取值范围是(1，

2

)-----------（13分）

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查函数奇偶性的定义与单调性的定义的灵活应用，属于中档题．