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已知函数f(x)满足f(x)=ln
1+x1-x

(1)求f(x)的定义域;判断f(x)的奇偶性及单调性并给予证明;
(2)对于函数f(x),当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0.求实数m的取值范围.
分析:(1)由
1+x
1-x
>0
得函数f(x)的定义域;由f(-x)=-f(x)可判断其奇偶性;利用单调性的定义即可证明其单调性;
(2)利用f(x)在x∈(-1,1)上的奇偶性将f(1-m)+f(1-m2)<0转化为f(1-m)<f(m2-1),再利用单调性将
函数符号脱掉即可.
解答:解(1)由
1+x
1-x
>0
得函数f(x)的定义域为(-1,1)…(2分)
f(-x)=ln
1-x
1+x
=ln(
1+x
1-x
)-1=-ln
1+x
1-x
=-f(x)
,所以f(x)为奇函数…(4分)
任意x1,x2∈(-1,1),x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ln(
1+x1
1+x2
×
1-x2
1-x1
)
-------------(6分)
∵x1,x2∈(-1,1),x1<x2
∴0<1+x1<1+x2,0<1-x2<1-x1------------(7分)
∴0<
1+x1
1+x2
×
1-x2
1-x1
<1,
∴f(x1)<f(x2).
所以f(x)为(-1,1)上的递增函数-------------------------------------------------------(9分)
(2)由(1)可知原不等式变形为f(1-m)<f(m2-1),
又f(x)为(-1,1)上的递增函数,
∴原不等式满足-1<1-m<m2-1<1,---------------------------------------(11分)
∴m取值范围是(1,
2
)
-----------(13分)
点评:本题考查函数奇偶性与单调性的综合,着重考查函数奇偶性的定义与单调性的定义的灵活应用,属于中档题.
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1
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  (n∈N*)
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1
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+
1
s2
+…+
1
sn

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f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24.
24.

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