Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω是常数，A＞0，ω＞0，φ是锐角）的部分图象如图所示，其中．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象先向右平移个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω倍，得到函数g（x）的图象，试写出函数g（x）的解析式；
（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由图可知，A=，=-=，
∴T=π，故ω=2；
又f（）=0，由图可知，2×+φ=π，
∴φ=，
∴f（x）=sin（2x+）；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位，得到函数y=sin[2（x+-）]=sin2x；
再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）=sinx；
（3）若存在x₀∈（0，），使得sinx₀+acosx₀=2成立．
a==h（x₀），x₀∈（0，），
可以求导h′（x₀）=，得：
h（x₀）在（0，）递减，[，）递增；
h（）=，h（0）=2，h（）=4-．
所求实数a的取值范围是[6，2]．
分析：（1）依题意可求得A，ω，φ；
（2）由（1）得=，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得g（x）的解析式；
（3）若存在x₀∈（0，），使得sinx₀+acosx₀=2成立，可求得a==h（x₀），可以求导h′（x₀）求得a的最大值与最小值，从而得到答案．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于难题．