Question

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60^o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝4km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为q．
（1）将tanq表示为x的函数；
（2）求点D的位置，使q取得最大值．

Answer 1

（1）；（2）点距点6km.

试题分析：（1）由图可知，因此为了求，可通过求和，，下面关键要求，为止作，垂足为，这时会发现随的取值不同，点可能在线段上，也可能在线段外，可能为锐角也可能为钝角，这里出现了分类讨论，作交延长线于，由已知可求出，这就是分类的分界点；（2）由（1）求得，要求它的最大值，可以采取两种方法，一种是由于分子是一次，分母是二次的，可把分子作为整体，分子分母同时除以（当然分母也已经化为的多项式了），再用基本不等式求解，也可用导数知识求得最大值.
（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．
由题知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90^o－60^o＝30^o，
所以CE＝AF＝4.5×sin30^o＝，BF＝4.5×cos30^o＝，
AE＝CF＝BC＋BF＝．
因为CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝＝．
当x＞时，ED＝x－，tan∠ADC＝＝＝（如图1）；

当0＜x＜时，ED＝－x，tan∠ADC＝－＝（如图2）．            4分
所以tanq＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝
＝＝，其中x＞0且x≠．
当x＝时tanq＝＝，符合上式．
所以tanq＝( x＞0)                                      8分
（2）（方法一）tanq＝＝＝，x＞0．      11分
因为4(x＋4)＋－41≥2－41＝39，
当且仅当4(x＋4)＝，即x＝6时取等号．
所以当x＝6时，4(x＋4)＋－41取最小值39．
所以当x＝6时，tanq取最大值．                                      13分
由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时，q取最大值．
答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大  14分
（方法二）tanq＝f(x)＝＝．
f ¢(x)＝＝－，x＞0．
由f ¢(x)＝0得x＝6．                                                      11分
当x∈（0，6）时，f ¢(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈（6，＋∞）时，f ¢(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)在x＝6时取得极大值，也是最大值f(6)＝．                    13分
由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时，q取最大值．
答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．  14分