Question

（2012•眉山一模）已知△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量

m

=（a，-2b-c），

n

=（cosA，cosC），且

m

∥

n

．
（I）求角A的大小；
（II）求2

3

cos2

C

2

-sin(B-

π

3

)的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．

Answer 1

分析：（I）利用两个向量共线的性质得acosC+（2b+c）cosA=0，再由正弦定理得sin（A+C）+2sinBcosA=0，由此求出cosA的值，即可得到角A的大小．
（II）由A=

2π

3

，故 B=

π

3

-C，代入要求的式子化简为

3

+2 sin（C+

π

3

），根据C+

π

3

的范围，求出 sin（C+

π

3

）的最大值，即可得到

3

+2 sin（C+

π

3

）的最大值．

解答：解：（I）∵

m

∥

n

，
∴acosC+（2b+c）cosA=0．
由正弦定理可得sinAcosC+（2sinB+sinC）cosA=0，
∴sin（A+C）+2sinBcosA=0．
∴sin（A+C）=sinB，由于sinB≠0，
∴cosA=-

1

2

，得A=

2π

3

．
（II）∵A=

2π

3

，∴B=

π

3

-C，
∴2

3

cos2

C

2

-sin(B-

π

3

)=2

3

•

1+cosC

2

-sin（-C）=

3

+

3

cosC+sinC=

3

+2 sin（C+

π

3

）．
∵0＜C＜

π

3

，
∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
∴当 C+

π

3

=

π

2

时，即C=

π

6

时，2

3

cos2

C

2

-sin(B-

π

3

)取得最大值等于

3

+2．
此时，C=

π

6

，B=

π

6

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量共线的性质，正弦定理、求三角函数的最值，属于中档题．