Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，且对于任意的n∈N^*，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3构成公差为2的等差数列，而a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5构成公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，且a_n＜M恒成立，则M的最小值为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 可由题意求得数列的前15项，观察得到，连续5项，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5中，a_4n+3最大，令a_4k+3=b_k，由数列的恒等式和等比数列的求和公式，求出b_n的通项，即可得到b_n的范围，进而得到M的最小值．

解答 解：由题意可得数列{a_n}中的前几项：
1，3，5，$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{4}$，$\frac{21}{4}$，$\frac{21}{8}$，$\frac{21}{16}$，$\frac{53}{16}$，$\frac{85}{16}$，$\frac{85}{32}$，$\frac{85}{64}$，$\frac{213}{64}$，$\frac{341}{64}$，…，
观察得到，连续5项，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5中，a_4n+3最大，
令a_4k+3=b_k，b₀=5，b₁=$\frac{21}{4}$，b₂=$\frac{85}{16}$，b₃=$\frac{341}{64}$，…，
若b_k=$\frac{{x}_{k}}{{4}^{k}}$，则b_k+1=$\frac{4{x}_{k}+1}{{4}^{k+1}}$=$\frac{{x}_{k}}{{4}^{k}}$+$\frac{1}{{4}^{k+1}}$=b_k+$\frac{1}{{4}^{k+1}}$，
即有b_k+1-b_k=$\frac{1}{{4}^{k+1}}$，
则有b_n=b₀+（b₁-b₀）+…+（b_n-b_n-1）
=5+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$+…$\frac{1}{{4}^{n}}$=5+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{16}{3}$-$\frac{1}{3•{4}^{n}}$，
即a_4n+3=$\frac{16}{3}$-$\frac{1}{3•{4}^{n}}$是递增数列，
且a_4n+3＜$\frac{16}{3}$，
由于对每个n，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5中，a_4n+3最大，
则对n∈N，都有a_n＜$\frac{16}{3}$．
由a_n＜M恒成立，
则有M≥$\frac{16}{3}$．即M的最小值为$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题为2012年江西预赛试题的改编题，考查数列的通项及单调性和最值问题，同时考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于难题．