Question

7．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5，则其外接球的体积为$\frac{125\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC₁的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的体积公式即可得到该球的球的体积．

解答 解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5，
∴长方体的对角线AC₁=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为AC₁=5$\sqrt{2}$，可得半径R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
因此，该球的体检为S=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π×（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）³=$\frac{125\sqrt{2}}{3}$π
故答案为：$\frac{125\sqrt{2}}{3}$π．

点评 本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的体积，着重考查了长方体的对角线公式、长方体的外接球和球的体积公式等知识，属于基础题．