Question

（1）讨论函数f(x)=

lnx

x2

（x∈[e^-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

总成立．

Answer 1

分析：（1）利用导数判断f（x）在[e-1，

e

]上递增，函数f（x）在[

e

，e]上递减，由此求得函数的值域，从而得到f（x）图象与直线y=k的交点个数．
（2）根据函数的单调性求得f（x）在（0，+∞）上的最大值为

1

2e

，x∈（0，+∞）时，

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

，
用数学归纳法，结合放缩法证明不等式成立．

解答：（1）解：由题意得：f′(x)=

1-2lnx

x3

．令f'（x）=0，得x=

e

．
当x∈(e-1，

e

)时，f'（x）＞0，故函数f（x）在[e-1，

e

]上递增；
当x∈(

e

，e)时，f'（x）＜0，故函数f（x）在[

e

，e]上递减．
又因为f（e^-1）=-e²，f(

e

)=

1

2e

，f(e)=

1

e2

，所以当k＞

1

2e

或k＜-e²时，没有交点；
当k=

1

2e

或-e2≤k＜

1

e2

时，有唯一的交点；当

1

e2

≤k＜

1

2e

时，有两个交点．
（2）证明：由（1）知函数f（x）在(0，

e

)上递增，在(

e

，+∞)上递减，
故f（x）在（0，+∞）上的最大值为

1

2e

．
即对x∈（0，+∞）均有

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

．
当n=1时，结论显然成立；当n≥2时，有

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

  
=0+

ln2

22

•

1

22

+

ln3

32

•

1

32

+…+

lnn

n2

•

1

n2

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

) 
＜

1

2e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)•n

)=

1

2e

(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

(n-1)

-

1

n

) 
=

1

2e

(

1

1

-

1

n

)＜

1

2e

．
综上可知，对任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

成立．

点评：本题主要考查用放缩法证明不等式，利用导数研究函数的单调性，求函数的值域，用数学归纳法证明不等式，属于难题．