Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax²+3是奇函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）由题意先求f（x）的导函数，利用导数的几何含义和切点的实质及g（x）为奇函数建立a，b，c的方程求解即可；
（2）有（1）可知函数f（x）的解析式，先对函数f（x）求导，再利用极值概念加以求解即可．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1，
又函数g（x）=-x³+bx+c+3是奇函数，
∴c=-3．∴a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），令f（x）=0，得x=

2

3

或x=-2，
 当x∈（-∞，-2）时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈(-2，

2

3

)时，f^′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈(

2

3

，+∞)时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
所以f（x）_极小=f（-2）=-11，f（x）_极大=f(

2

3

)=-

41

27

．．

点评：（1）此问重点考查了导函数的几何意义，奇函数的概念和切点的定义，还考查了方程的数学思想；
（2）此问考查了函数的极值的定义和求极值的方法．