Question

（2006•南京一模）一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为

1

2

．
（1）若p=

2

3

，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率；
（2）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过

5

18

，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）故该学生在第三个交通岗第一遇到红灯，说明该学生在前2个交通岗都没有遇到红灯，第三个交通岗遇到
红灯，再根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式求得结果．
（2）该学生至多遇到一次红灯，指没有遇到红灯（记为A），或恰好遇到一次红灯（记为B）．
求得P（A）=（1-p）²•(1-

1

2

)3，P（B）=

C

0 2

•（1-p）²•

C

1 3

•

1

2

•(1-

1

2

)2+

C

1 2

•p•（1-p）•

C

0 3

•(1-

1

2

)3的值，
再根据P（A）+P（B）≤

5

18

，结合0≤p≤1，求得p的取值范围．

解答：解：（1）记该学生在第i个交通岗遇到红灯A_i（i=1，2，…，5），
故该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为 P(

.

A1

•

.

A2

•A3)=(1-

2

3

)×(1-

1

2

)×

1

2

=

1

12

．
（2）该学生至多遇到一次红灯，指没有遇到红灯（记为A），或恰好遇到一次红灯（记为B）．
故P（A）=（1-p）²•(1-

1

2

)3=

1

8

（1-p）²，
P（B）=

C

0 2

•（1-p）²•

C

1 3

•

1

2

•(1-

1

2

)2+

C

1 2

•p•（1-p）•

C

0 3

•(1-

1

2

)3=

3

8

（1-p）²+

1

4

p（1-p）．

1

8

(1-p)2+

3

8

(1-p)2+

1

4

p(1-p)≤

5

18

⇒

1

3

≤p≤

8

3

．
又0≤p≤1，所以p的取值范围是[

1

3

，1]．

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于中档题．