Question

已知椭圆过点，且离心率。

 （Ⅰ）求椭圆方程；

 （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）椭圆方程为

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出椭圆的方程，结合离心率公式和点的坐标得到a,b的关系式，进而求解得到方程。

（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出根与系数的关系，结合斜率狗狗是得到m,k的表达式，进而结合判别式得到范围。

解：（Ⅰ）离心率，，即（1）；

又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，

椭圆方程为。-------4分

（Ⅱ）设，弦MN的中点A

由得：，------------6分

直线与椭圆交于不同的两点，

，即……（1）--------8分

由韦达定理得：，

则，-------------10分

直线AG的斜率为：，

由直线AG和直线MN垂直可得：，即，----12分

代入（1）式，可得，即，则---14分

考点：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的运用。

点评：解决该试题的关键是能够利用椭圆的几何性质准确表述出a,b,c的关系式及而求解得到椭圆方程，同时联立方程组，结合韦达定理是我们解析几何的常用的解题方法。