Question

（2012•北京模拟）在数列{a_n}中，a1=

3

，an+1=

1+ a 2 n -1

an

(n∈N*)．数列{b_n}满足0＜bn＜

π

2

，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为S_n．若对于任意的n∈N^*，不等式Sn≥(-1)nλbn恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}中，a1=

3

，an+1=

1+ a 2 n -1

an

(n∈N*)．数列{b_n}满足0＜bn＜

π

2

，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．易得b1=

π

3

，b2=

π

6

．
（2）由an+1=

1+ a 2 n -1

an

，a_n=tanb_n，结合同角三角函数关系，可得 tanbn+1=tan

bn

2

，进而确定数列{b_n}的首项和公比，代入等比数列通项公式，可得答案．
（3）由（2）中数列的通项，求出数列的前n项和，分n是奇数和n是偶数两种情况进行讨论，综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）依题意得 a1=

3

，a2=

1+ a 2 1 -1

a1

=

3

3

，
又 a₁=tanb₁，a₂=tanb₂，且 b1， b2∈(0，

π

2

)，
所以 b1=

π

3

，b2=

π

6

．
（2）因为 an+1=

1+ a 2 n -1

an

，a_n=tanb_n，且 0＜bn＜

π

2

，
所以 an+1=

1+tan2bn -1

tanbn

=

1 cosbn -1

sinbn cosbn

=

1-cosbn

sinbn

=

2sin2 bn 2

2sin bn 2 cos bn 2

=tan

bn

2

．
所以 tanbn+1=tan

bn

2

．
所以 bn+1=

bn

2

（n∈N^*）．
因此数列{b_n}是首项为

π

3

，公比为

1

2

的等比数列．
所以 bn=

π

3

(

1

2

)n-1．
（3）由 bn=

π

3

(

1

2

)n-1，得 Sn=

π

3

[2-(

1

2

)n-1]．
由Sn≥(-1)nλbn，得 （-1）ⁿλ≤2ⁿ-1．
①当n是奇数时，λ≥1-2ⁿ．
由于上式对正奇数恒成立，故 λ≥-1．
所以，当n是奇数时，λ≥-1．
②当n是偶数时，λ≤2ⁿ-1．
由于上式对正偶数恒成立，故 λ≤3．
所以，当n是偶数时，λ≤3．

点评：二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正切函数在区间(-

π

2

，

π

2

)上的性质，等比数列的概念，等比数列的通项公式