Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ．
（1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若x1、x2∈R+ ， 且x1≤x2 ， 求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= ，

∵函数f（x）在定义域内不单调，

∴方程x2+（4﹣3a）x+4=0有大于0的实数根，

∵函数y=x2+（4﹣3a）x+4的图象经过点（0，4），

∴ ，∴a＞

（2）解：∵函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，

∴x2+（4﹣3a）x+4≥0在区间（0，1]内恒成立，

即3a≤ +x+4在区间（0，1]内恒成立，

∵y= +x+4在x=1时取得最小值9，

∴a≤3

（3）证明：x1=x2，不等式显然成立；

x1≠x2，只要证明ln ≤ ，

令t= ∈（0，1），则只要证明lnt﹣ ≤0即可，

由（2）可得f（x）=lnx﹣ 在（0，1]上是增函数，

∴f（x）≤f（1）=0，

∴lnt﹣ ≤0，∴不等式成立

【解析】（1）求导数，利用函数f（x）在定义域内不单调，得到方程x2+（4﹣3a）x+4=0有大于0的实数根，即可求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，x2+（4﹣3a）x+4≥0在区间（0，1]内恒成立，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围；（3）利用分析法进行证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．