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    【题目】已知椭圆 的离心率为，若椭圆与圆：相交于M,N两点，且圆E在椭圆内的弧长为.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值.

    【答案】（1）；（2）证明见解析。

    【解析】

    (1) 可设,得,解方程即得椭圆方程. (2)证明:①若AB斜率不存在,易求得. ②当斜率存在时,设斜率为,直线的方程为，求出，同理可得，再计算.

    (1)由圆在椭圆内的弧长为知该弧所对的圆心角为，

    圆心在该弧的上方,可设，

    设椭圆方程为,

    则,解得

    所以椭圆方程为.

    (2)证明:①若AB斜率不存在,则.此时. .

    所以；

    ②当斜率存在时,设斜率为,直线的方程为，

    设,,联立方程得消去得(.

    所以，

    ，

    因为垂直,所以直线的斜率为,同理可得

    所以

    综上 。

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

    分组

    频数

    频率

    [10，15）

    10

    0.25

    [15，20）

    25

    n

    [20，25）

    m

    p

    [25，30）

    2

    0.05

    合计

    M

    1

    （1）求出表中M，p及图中a的值；

    （2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；

    （3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．

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    【题目】如图所示，在四棱锥中，平面，，，.

    （1）求证：；

    （2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

    交强险浮动因素和浮动费率比率表

    浮动因素

    浮动比率

    A1

    上一个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮10%

    A2

    上两个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮20%

    A3

    上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故

    下浮30%

    A4

    上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故

    0%

    A5

    上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

    上浮10%

    A6

    上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

    上浮30%

    某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

    类型

    A1

    A2

    A3

    A4

    A5

    A6

    数量

    10

    5

    5

    20

    15

    5

    以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
    （Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）
    （Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：
    ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
    ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．

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    【题目】长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ．
    （1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数a的取值范围；
    （2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；
    （3）若x1、x2∈R+ ， 且x1≤x2 ， 求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（ ）
    A.此题没有考生得12分
    B.此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏
    C.分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分
    D.全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
    （1）当a=0时，求函数f（x）在[ ，1]上的最小值；
    （2）若x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；
    （3）若x＞0，不等式f（ ）﹣1≥ e + 恒成立，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于， 两点， 是中点．

    （Ⅰ）当与垂直时，求证： 过圆心．

    （Ⅱ）当，求直线的方程．

    （Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．

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