Question

【题目】已知函数f（x）=（2log4x﹣2）（log4x﹣ ），
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）求f（x）在区间[2，t]（t＞2）上的最小值g（t）．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=log4x，x∈[2，4]时，则m∈[ ，1]，

则f（t）=（2m﹣2）（m﹣ ）=2m2﹣3m+1=2（m﹣ ）2﹣ ，

当m= 时，有最小值为﹣ ，

当m= 或1时，有最大值为0，

∴该函数的值域为[﹣ ，0]

（2）解：由（1）可知f（m）=2m2﹣3m+1=2（m﹣ ）2﹣ ，

∵x∈[2，t]，

∴m∈[ ，log4t]，

当 ≤m＜ 时，即2≤t＜2 时，函数f（t）在[ ，log4t]，单调递减，

g（t）=f（t）min=f（log4t）=2log42t﹣3log4t+1

当m≥ 时，即t≥2 时，函数f（t）在[ ， ]上单调递减，

在（ ，log4t]单调递增，g（t）=f（t）min=f（ ）=﹣ ，

综上所述：g（t）=

【解析】（1）令m=log4x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题；（2）根据二次函数的性质和对称轴，分类讨论即可求出最小值．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．