Question

下列说法中：
①若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期；
②若对于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，则a＞

11

3

；
③定义：“若函数f（x）对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，则称函数f（x）为有界泛函．”由该定义可知，函数f（x）=x²+1为有界泛函；
④对于函数f(x)=

x-1

x+1

，设f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₉（x）=x，x∈R}，则集合M为空集．
正确的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：依据相关函数的性质逐一进行判断证明，判断每个命题的正误．①变形判断其以6为周期，②分离出a来，利用恒成立求其范围；③根据有界函数的定义进行判断，确定f（x）=x²+1的性质；④先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值．

解答：解：①由题设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），得f（x+2）=-f（x-1）=f（x-4），故周期是6，正确．
②对于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，即a＞x+

2

x

对于任意x∈（1，3）恒成立，x+

2

x

≥2

2

等号当且仅当x=

2

x

=

2

时成立，又当x=1，x+

2

x

=3，x=3，x+

2

x

=

11

3

，故a≥

11

3

故不对．
③若命题成立，则必有M≥|x|+

1

|x|

，x∈R恒成立，这是不可能的，故不对．
④由题设f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=

x+1

x-1

，f₄（x）=

1

x

，f₅（x）=

1-x

x+1

f₆（x）=-x，f₇（x）=f₃（x）=

x+1

x-1

，故从f₃（x）开始组成了一个以f₃（x）为首项，以周期为4重复出现，由2009=3+501*4+2得f₂₀₀₉（x）=f₅（x），故

1-x

x+1

=x整理得，x²+2x-1=0，有解，故不对．
综上，仅有①正确
故应选A．

点评：考查同期性，恒成立求参数，利用周期性求值，新定义函数的正确性验证，本题作为一个选择题运算量太大，且变形技巧性强，实为得分不易之题．