Question

已知函数f（x）=（1+）e^x，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）讨论y=f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）在区间（-∞，-]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=0，得x=-a，所以函数f（x）的零点为-a．（2分）
（Ⅱ）函数f（x）在区域（-∞，0）上有意义，f′（x）=，（5分）
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=，
因为a＞0，所以x₁＜0，x₂＞0．（7分）
当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下：

所以在区间（-∞，）上f（x）是增函数，（8分）
在区间（，0）上f（x）是减函数．（9分）
（Ⅲ）在区间（-∞，-]上f（x）存在最小值f（-）．（10分）
证明：由（Ⅰ）知-a是函数f（x）的零点，
因为-a-x₁=-a-=＞0，
所以x₁＜-a＜0，（11分）
由知，当x＜-a时，f（x）＞0，（12分）
又函数在（x₁，0）上是减函数，且x₁＜-a＜-＜0，
所以函数在区间（-x₁，-]上的最小值为f（-），且f（-）＜0，（13分）
所以函数在区间（-∞，-]上的最小值为f（-），
计算得f（-）=-．（14分）
分析：（Ⅰ）欲求函数f（x）的零点，先求出f（x）=0的解，即可得到函数f（x）的零点；
（Ⅱ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在定义域内求出f′（x）=0的值x₁=，再讨论点x₁=附近的导数的符号的变化情况，从而得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）先利用作差法比较x₁与-a的大小，从而得到x₁＜-a＜-＜0，又函数在（x₁，0）上是减函数，则函数在区间（-∞，-]上的最小值为f（-），求出f（-）即可．
点评：本题主要考查了函数的零点，不等式的性质，不等式的证明，导数的应用，以及分析问题能力，属于中档题．