Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为，P为椭圆C上的任一点，△PF₁F₂的周长为4+2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点D（0，）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义及其离心率计算公式、b²=a²-c²即可得出．
（2）设直线l的方程为：．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系、再利用斜率计算公式及其等比数列的性质即可得出．
解答：解：（1）由题意可得，解得，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为．
（2）由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，又过点，故可设直线l的方程为：．
联立 消去y得：
由，得：．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，．
y₁y₂==+，
∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴，即，
∴，
∴，解得：，即．
∴直线l的方程为：．
点评：熟练掌握椭圆的定义及其离心率计算公式、b²=a²-c²、直线与椭圆相交问题转化为方程联立即可得到根与系数的关系、斜率计算公式及其等比数列的性质等是解题的关键．