Question

函数f（x）=lnx，（a≠0）
（1）b=2时，函数h（x）=f（x）-g（x）存在减区间，求a的取值范围
（2）函数f（x）的图象与函数g（x）的图象交于P，Q两点，过PQ中点作x轴的垂线l，l与曲线y=f（x），y=g（x）分别交于M，N点，设曲线y=f（x）在M处的切线为l₁，曲线y=g（x）在N处的切线为l₂，证明l₁∥l₂．

Answer 1

解：（1）当b=2时，，
函数h（x）=f（x）-g（x）存在减区间，等价于＜0，在x＞0时解集非空集，
即关于x的不等式ax²+2x-1＞0（a≠0）有解，
当a＞0时，ax²+2x-1＞0显然有解；
而当a＜0时，只需△=4+4a＞0，解得-1＜a＜0，
∴a的取值范围为：a＞0或-1＜a＜0 …（7分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设0＜x₁＜x₂，由题意可得M、N的横坐标，
则M点处的导数值为，N点处的导数值为，
假设存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即，
∴==f（x₁）-f（x₂）=，
假设（*），…（10分）
考虑t∈（0，1）的单调性，
∵
可知h（t）是t∈（0，1）的增函数（也是R⁺上增函数），故h（t）＜h（1）=0，
因此　，
此结论与题设（*）矛盾，
∴l₁∥l₂…（14分）
分析：（1）把b=2代入可得，而函数h（x）=f（x）-g（x）存在减区间等价于＜0在x＞0时解集非空集，分类讨论可得；
（2）假设存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即，从而有=，由导数法考虑t∈（0，1）的单调性可得．
点评：本题考查函数与导数的综合应用，涉及函数的恒成立问题以及构造函数利用单调性证明问题，属中档题．