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    如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：
    （i）求四棱锥P-BDEF的体积；
    （ii）若点Q满足=λ （λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．
    【答案】分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则=（ 2-x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；
    （ⅱ）确定的坐标，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．
    解答：（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
    ∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
    ∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
    ∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
    ∴PO⊥平面ABFED，
    ∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
    ∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
    （Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
    （ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
    故BD=4，HB=2，HC=2．
    又设PO=x，则OH=2-x，OA=4-x．
    所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2-x，2，0），
    故=（ 2-x，2，-x），（6分）
    所以||=，
    ∴当x=时，|PB|min=．
    此时PO=，OH=（7分）
    由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以=3．（8分）
    （ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=，则A（3，0，0），B（，2，0），D（，-2，0），P（0，0，）．
    所以，（9分）
    ∵=λ （λ＞0），
    ∴，∴．
    ∴Q（，），
    ∴=（）．    （10分）
    设平面PBD的法向量为，则．
    ∵，∴，
    取x=1，解得：y=0，z=1，所以．（11分）
    设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
    ∴sinθ=|cos|==．（12分）
    又∵λ＞0∴sinθ＞．（13分）
    ∵θ∈[0，]，∴θ＞．
    因此直线OQ与平面PBD所成角大于，即结论成立． （14分）
    点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．
    练习册系列答案
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    如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则
    AE
    •
    BD
    的值为
    4
    4
    ．

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    （2012•福州模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．

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    （2013•茂名二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED

    （1）求证：BD⊥平面POA
    （2）当点O 在何位置时，PB取得最小值？
    （3）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．

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    （2012•茂名二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
    （1）求证：BD⊥平面POA
    （2）设AO∩BD=H，当O为CH中点时，若点Q满足
    AQ
    =
    QP
    ，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．

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    （2012•汕头二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABEFD．
    （1）求证：BD⊥平面POA；
    （2）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2，且
    V1
    V2
    =
    4
    3
    ，求此时线段PO的长．

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