Question

已知向量 

a

=（1，2），

b

=（cosα，sinα），设

m

=

a

+t

b

（t为实数）．
（1）若α=

π

4

，求当|

m

|取最小值时实数t的值；
（2）若

a

⊥

b

，问：是否存在实数t，使得向量

a

-

b

和向量

m

的夹角为

π

4

，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若

a

⊥

m

，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，-3）•（t²，t）的单调性．

Answer 1

分析：（1）先把a=

π

4

代入求出向量

b

的坐标，再把 |

m|

转化为

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出 |

m|

的最小值以及实数t的值；
（2）先利用向量垂直求出 |

a

-

b

|以及 |

a

+t

b

|和（

a

-

b

）（

a

+t

b

），代入cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．
（3）利用向量垂直的条件得到t的范围，再利用导数判断函数的单调性．

解答：解：（1）因为a=

π

4

，所以

b

=（

2

2

，

2

2

），

a

•

b

=

2 3

3

，
则 |

m|

=

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

=

t2+3 2 t+5

=

(t+ 3 2 2 )2+ 1 2

所以当 t=-

3 2

2

时，|

m|

取到最小值，最小值为

2

2

．
（2）由条件得cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，
又因为 |

a

-

b

|=

( a - b )2

=

6

，|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

5+t2

，
（

a

-

b

）（

a

+t

b

）=5-t，则有

5-t

6 5+t2

=

2

2

，且t＜5，
整理得t²+5t-5=0，所以存在t=

-5±3 5

2

满足条件．
（3）由题意可得：

m

=（1+tcosα，2+tsinα），
因为

a

⊥

m

，
所以5+t（cosα+2sinα）=0，即5+

5

tsin（α+φ）=0
∵|sin（α+φ）|≤1
∴|t|≥

5

，
∴t≥

5

或t≤-

5

，
又f（t）=（t，-3）•（t²，t），
∴f（t）=t³-3t
所以f′（t）=3t²-3，
因为t≥

5

或t≤-

5

，
所以f′（t）=3t²-3＞0，
所以函数f（t）在[

5

，+∞)，(-∞，-

5

]上是增函数．

点评：本题主要考查平面向量的数量积与二次函数的一个现在，以及利用导数判断函数的单调性．