Question

若函数f（x）在定义域R内可导，f（2+x）=f（2-x），且当x∈（-∞，2）时，（x-2）f'（x）＞0．设a=f（1），b=f(

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)，c=f（4），则a，b，c的大小为

c＞a＞b

．

Answer 1

分析：由f（2+x）=f（2-x），知函数f（x）的对称轴为x=2，故a=f（1）=f（3），所以c=f（4），b=f(

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)．由由x∈（-∞，2）时，（x-2）f′（x）＞0，知f′（x）＜0，即f（x）在（-∞，2）上是减函数，所以f（x）在（2，+∞）上是增函数，由此能够判断，b，c的大小．

解答：解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2，
故a=f（1）=f（3），
c=f（4），b=f(

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)．
又由x∈（-∞，2）时，（x-2）f′（x）＞0，
∴f′（x）＜0，即f（x）在（-∞，2）上是减函数，
所以f（x）在（2，+∞）上是增函数，
于是f（4）＞f（3）＞f（

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），即c＞a＞b．
故答案为：c＞a＞b．

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．