Question

（2013•德州二模）已知函数f（x）=a（x²-2x+1）+1nx+1．
（I）当a=-

1

4

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对?x∈[1，+∞）f（x）≥x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对?x∈[1，+∞），f（x）≥x恒成立，等价于当x≥1时，a（x²-2x+1）+1nx-x+1≥0恒成立，令h（x）=a（x²-2x+1）+1nx-x+1，只需h（x）≥0，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（I）当a=-

1

4

时，f（x）=-

1

4

（x²-2x+1）+1nx+1
∴f′(x)=-

(x-2)(x+1)

2x

∵x＞0，x+1＞0
∴当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）；
（II）当x≥1时，a（x²-2x+1）+1nx+1≥x恒成立，即当x≥1时，a（x²-2x+1）+1nx-x+1≥0恒成立
令h（x）=a（x²-2x+1）+1nx-x+1，只需h（x）≥0即可
求导函数，可得h′(x)=

(2ax-1)(x-1)

x

（x＞1）
（1）若a≤0，∵x＞1时，h′（x）＜0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减
∴h（x）≤h（1）=0，不满足题意；
（2）若a＞0，令h′（x）=0，可得x=

1

2a

①0＜

1

2a

≤1，即a≥

1

2

时，h（x）在（1，+∞）上为增函数
∴x≥1时，h（x）≥h（1）=0，满足题意；
②

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

，h（x）在（1，

1

2a

）上单调递减
∴1＜x＜

1

2a

时，h（x）≤h（1）=0，不满足题意；
综上，a的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．