Question

19．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0的解集是（-2018，-2015）．

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=x³f（x），x∈（-∞，0），利用导数判断g（x）的单调性，
再把不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0化为g（x+2015）＞g（-3），
利用单调性求出不等式的解集．

解答 解：根据题意，令g（x）=x³f（x），
其导函数为g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]，
∵x∈（-∞，0）时，3f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增；
又不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0可化为
（x+2015）³f（x+2015）＞（-3）³f（-3），
即g（x+2015）＞g（-3），
∴0＞x+2015＞-3；
解得-2015＞x＞-2018，
∴该不等式的解集是为（-2018，-2015）．
故答案为：（-2018，-2015）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目．