Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）．且当x＞0时，f（x）＜0恒成立，f（3）=-3．
（1）证明：函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m，n∈N^*）上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＜0，再利用f（a+b）=f（a）+f（b）及减函数的定义即可证明．
（2）令a=b=0，则可得f（0）=0；再令a=x，b=-x，即可证明f（x）是奇函数．
（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在[m、n]上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域．

解答： 证明：（1）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＜0，
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）证明由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令a=b=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函数y=f（x）是奇函数，
（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，
∴y=f（x）在[m，n]上也为单调减函数．
∴y=f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），最小值为f（n）．
∴f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）．
同理，f（m）=mf（1）．
∵f（3）=-3，∴f（3）=3f（1）=-3．
∴f（1）=-1．∴f（m）=-m，f（n）=-n．
因此，函数y=f（x）在[m，n]上的值域为[-n，-m]．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．