Question

用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

 

Answer 1

容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3.

【解析】

试题分析：设长方体的宽为m, 长为2x m，高为 m，由实际意义得出，长方体体积可写出容积，对求导，知0<x<1时，V′(x)>0；当时，V′(x)<0，则在时有最大值，求之得最大容积．

【解析】
设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为 m,

由 解得 ， 3分

故长方体的容积为 6分

从而 V′(x)＝，

令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)， 8分

当0<x<1时，V′(x)>0；

当时，V′(x)<0，

故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，

从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13 ＝ 3 , 10分

此时容器的高为4.5－3＝1.5 m,

因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 ． 12分

考点：利用导数求函数的最值，函数的应用.