Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，记其导函数为f′（x），f（1）=0，且当x＞0时，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 把f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$ 化为[$\frac{f（x）}{x}$]′＞0；可判断函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）内单调递增；再由f（1）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$．
∵当x＞0时，有 f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，即xf′（x）-f（x）＞0，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0
∴g（x）在（0，+∞）内单调递增．
∵f（1）=0，∴g（1）=0
∴当x∈（0，1）时，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＜0，∴f（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0．∴f（x）＞0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x∈（-1，0）时，f（x）＞0；
当x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．属于中档题．