Question

如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（a＞b＞0)上的三点，其中点  
A的坐标为（2，0）,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.
（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；
（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明.

Answer 1

（1）C（，）,="1  " （2）向量与向量共线

（1）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,
∴|OC|=|AC|.又A（2，0），∠ACB=90°,
∴C（，）,                                  3分
∵a=2，将a=2及C点坐标代入椭圆方程得
=1,∴b²=4,
∴椭圆E的方程为:="1.                                      " 7分
（2）对于椭圆上两点P、Q，∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，
∴直线PC的方程为y-=k(x-),
即y=k(x-)+.                                       ①
直线CQ的方程为y=-k(x-)+,                  ②      10分
将①代入=1,
得(1+3k²)x²+6k(1-k)x+9k²-18k-3="0,                          " ③
∵C(,)在椭圆上，∴x=是方程③的一个根.
∴x_P·=，∴x_P=，同理可得,x_Q=,
∴k_PQ==.                             14分
∵C（，），∴B（-，-），
又A（2，0），∴k_AB==，                                 15分
∴k_AB=k_PQ，∴向量与向量共线.                              16分