Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；
（2）若E、F分别是AA₁，CC₁的中点，求证：平面EB₁D₁∥平面FBD．

Answer 1

证明：（1）由B₁B∥DD₁，得四边形BB₁D₁D是平行四边形，
∴B₁D₁∥BD，
又BD?平面B₁D₁C，B₁D₁∥平面B₁D₁C，
∴BD∥平面B₁D₁C．
同理A₁D∥平面B₁D₁C．
而A₁D∩BD=D，
∴平面A₁BD∥平面B₁CD．
（2）由BD∥B₁D₁，得BD∥平面EB₁D₁．
取BB₁中点G，∴AE∥B₁G．
从而得B₁E∥AG，同理GF∥AD．
∴AG∥DF．
∴B₁E∥DF．
∴DF∥平面EB₁D₁．
∴平面EB₁D₁∥平面FBD．
分析：（1）有B₁B∥DD₁?B₁D₁∥BD平?面A₁BD∥平面B₁CD．
（2）由AE∥B₁G?B₁E∥AG，再由AG∥DF?B₁E∥DF，B₁E∥DF?DF∥平面EB₁D₁．
点评：要证“面面平行”只要证“线面平行”，要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．