Question

：如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x²－x－10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当t∈（0，）时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer 1

：略

：（1）在y＝x²－x－10中，令y＝0，得x²－8x－180＝0．
解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)．····················································· 1分
在y＝x²－x－10中，令x＝0，得y＝－10．
∴B(0，－10)．································· 2分
∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为－10．
由－10＝x²－x－10得x＝0或x＝8．
∴C(8，－10)．·································· 3分
∵y＝x²－x－10＝(x－4)²－
∴抛物线的顶点坐标为(4，－)．    4分
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．
∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．
解得t＝．·························································································· 6分
（3）设点P运动了t秒，则OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．
∵QC∥OP，    ∴＝＝＝＝．
同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．
∴AF＝4t＝OP．
∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．································································· 8分
∴S_△PQF＝PF·OB＝×18×10＝90
∴△PQF的面积总为定值90．································································· 9分
（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10) t∈（0，4.5）．
∴PQ²＝(4t－8＋t)²＋10²＝(5t－8)²＋100
FQ²＝(18＋4t－8＋t)²＋10²＝(5t＋10)²＋100．
①若FP＝FQ，则18²＝(5t＋10)²＋100．
即25(t＋2)²＝224，(t＋2)²＝．
∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝＝．
∴t＝－2．··················································································· 11分
②若QP＝QF，则(5t－8)²＋100＝(5t＋10)²＋100．
即(5t－8)²＝(5t＋10)²，无0≤t≤4.5的t满足．·································· 12分
③若PQ＝PF，则(5t－8)²＋100＝18²．
即(5t－8)²＝224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，
∴－8≤5t－8≤14.5，而14.5²＝()²＝＜224．
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．·························································· 13分
注：也可解出t＝＜0或t＝＞4.5均不合题意，
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
综上所述，当t＝－2时，△PQF为等腰三角形．·························· 14分