Question

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频　率
第一组	（0，15]	4	0.1
第二组	（15，30]	12	y
第三组	（30，45]	8	0.2
第四组	（45，60]	8	0.2
第五组	（60，75]	x	0.1
第六组	（75，90）[	4	0.1

（Ⅰ）试确定x，y的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）画出相应的频率分布直方图．
（Ⅲ）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据频率=

频数

样本容量

，可求出x，y，进而根据众数为频率最大的组中值，中位数将频率分布直方图中矩形面积平分，求出众数和中位数．
（Ⅱ）根据已知中的频率分布直方表，计算出每组对应的矩形的高，可得相应的频率分布直方图
（III）先求出去年该居民区PM2.5年平均浓度为40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以该居民区的环境需要改进．

解答：解：（Ⅰ）∵频率=

频数

样本容量

，
∴x=0.1×40=4，
y=

12

40

=0.3．
众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（4分）
（Ⅱ）其频率分布直方图如图所示：
…（8分）
（III）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．…（10分）
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．…（12分）

点评：本小题主要考查频率分布直方表、频率分布直方图，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．