Question

2012年3月2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》，甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题初试才能通过．
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布列及数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，由排列组合的知识分别可求其概率，进而可得其分布列，由期望的定义可得数学期望；
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，可求其概率，进而可得甲乙两人均通不过的概率为：P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

），由独立事件的概率可得其值，再由对立事件可知所求概率为P=1-P（

.

A

.

B

）

解答：解：（Ⅰ）由题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，
则P（ξ=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，故其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

…（6分）
故甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．…（8分）
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，
则P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

60+20

120

=

2

3

，P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+56

120

=

14

15

，
因为事件A、B独立，所以甲乙两人均通不过的概率为：P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

）
=（1-

2

3

）（1-

14

15

）=

1

3

×

1

15

=

1

45

，
故甲、乙两人至少有一人通过的概率为P=1-P（

.

A

.

B

）=1-

1

45

=

44

45

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．