Question

（本小题满分14分）

已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.

（Ⅰ）证明和均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，

所以

因为在椭圆上，

因此         ①

又因为

所以          ②

由①、②得

此时

   （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知m，将其代入，得

，

其中

即           …………（*）

又

所以

因为点O到直线的距离为

所以

又

整理得且符合（*）式，

此时

综上所述，结论成立。

   （II）解法一：

   （1）当直线的斜率存在时，

由（I）知

因此

   （2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

                 

所以，当且仅当时，等号成立.

综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为

解法二：

因为

                    

所以

即当且仅当时等号成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值为

   （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得

证明：假设存在，

由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与矛盾，

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.