Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n+1=a_na_n+1，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n-a_n+1=a_na_n+1，从而得

1

an+1

-

1

an

=1，根据等差数列的定义，可以证明数列{

1

an

}为等差数列；
（2）由（1）可求出a_n的通项公式，求出数列{a_n}的前n项和为S_n，利用作差法进行证明．

解答：证明：（1）由a_n-a_n+1=a_na_n+1，
从而得

1

an+1

-

1

an

=1（3分）
∵a₁=1
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为1的等差数列．（5分）
（2）∵

1

an

=n则an=

1

n

，∴sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（7分）
∴T_n=S_2n-S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

（9分）
∵Tn+1-Tn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)，
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴T_n+1＞T_n．（12分）

点评：此题主要考查了等差数列的性质及其应用，第二问利用作差法进行证明，这也是最基本的证明方法，我们要熟练掌握，此题是一道中档题．