Question

【题目】函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为 ，且图象上一个最低点为M（ ，﹣2）． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当x∈[ ， ]时，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由图象与x轴相邻两个交点间的距离为 ， = = ，∴ω=2，

再根据图象上一个最低点为M（ ，﹣2），可得A=2，2× +φ= ，φ= ，

∴f（x）=2sin（2x+ ）．

（Ⅱ）令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z；

（Ⅲ）当x∈[ ， ]时， ≤2x+ ≤ ，∴sin（2x+ ）∈[﹣1，2]，故函数的值域为[﹣1，2]

【解析】（Ⅰ）由周期求得ω，由最低点的坐标结合五点法作图求得A及φ的值，可得函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）当x∈[ ， ]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．