Question

若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．则称集合A是“好集”．

(Ⅰ)分别判断集合B＝{－1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；

(Ⅱ)设集合A是“好集”，求证：若x，y∈A，则x＋y∈A；

(Ⅲ)对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由．

命题p：若x，y∈A，则必有x·y∈A；

命题q：若x，y∈A，且x≠0，则必有∈A；

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)集合B不是“好集”．理由是：假设集合B是“好集”．

　　因为，，所以．这与矛盾．　2分

　　有理数集是“好集”．因为，，对任意的，有，且时，．

　　所以有理数集Q是“好集”．　4分

　　(Ⅱ)因为集合A是“好集”，所以．若，则，即．

　　所以，即．　6分

　　(Ⅲ)命题均为真命题．理由如下：　7分

　　对任意一个“好集”A，任取，若中有0或1时，显然．

　　下设均不为0，1．由定义可知：．所以，即．

　　所以．由(Ⅱ)可得：，即．同理可得．

　　若或，则显然．若且，则．

　　所以．所以_．由(Ⅱ)可得：．

　　所以．综上可知，，即命题为真命题．若，且，则．

　　所以，即命题为真命题．　13分