Question

2．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9
利润额y（千万元）	2	3	3	4	5

（1）求利润额y对销售额x的回归直线方程；
（2）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
提示：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{x}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的这组数据，写出利用最小二乘法要用的量的结果，把所求的这些结果代入公式求出线性回归方程的系数，进而求出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，把x=4的值代入方程，估计出对应的y的值．

解答 解：（1）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+5+6+7+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2+3+3+4+5）=3.4，
$\sum _{i=1}^{5}$x_i²=32+52+62+72+92=200，
$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=3×2+5×3+6×3+7×4+9×5=112，
∴$\hat{b}$=$\frac{\underset{i=1}{\sum^{5}}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\underset{i=1}{\sum^{5}}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112-5×6×3.4}{200-5×6×6}$=0.5，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-0.5$\overline{x}$=3.4-0.5×6=0.4
∴回归直线方程为$\hat{y}$=0.5x+0.4；
（2）当x=4时，$\hat{y}$=0.5×4+0.4=2.4，
∴当销售额为4（千万元）时，估计利润额2.4千万元．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是求出最小二乘法所要用到的量，数字的运算不要出错．