Question

3．抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求直线AB的斜率；
（2）求△OAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量共线即可得出；
（2）利用（1）的结论、三角形的面积公式即可得出．

解答 解：（1）∵抛物线y²=4x，∴焦点F（1，0）．
设直线AB方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
∵$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
∴y₁=-2y₂．          ②
联立①和②，消去y₁，y₂，得m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直线AB的斜率是2$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可知：|y₁-y₂|=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
∴S_△AOB=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∴m=0时，△OAB的面积最小，最小值是2．

点评 本题考查了直线与抛物线的相交问题，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、向量共线、直线的斜率、三角形的面积公式是解题的关键．