Question

10．已知{a_n}是等比数列，下列命题中不正确的是（　　）

• A． 若a_n＞0，（n∈N^*），则{lga_n}是等差数列
• B． 若a_n＞0，（n∈N^*），则$\frac{{a}_{1}+{a}_{n+2}}{2}$≥$\sqrt{{a}_{2}{a}_{n+1}}$
• C． a_n+1一定是a_n与a_n+2的等比中项
• D． a_n-r与a_n+r（r＜n，r，n∈N^*）的等比中项一定是a_n

Answer 1

分析 由等比数列的性质和等比中项，结合基本不等式逐个选项验证可得．

解答 解：选项A正确，lga_n+1-lga_n=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lgq为与n无关的常数，故{lga_n}是等差数列；
选项B正确，由基本不等式可得$\frac{{a}_{1}+{a}_{n+2}}{2}$≥$\sqrt{{a}_{1}{a}_{n+2}}$，由等比数列的性质可得$\sqrt{{a}_{1}{a}_{n+2}}$=$\sqrt{{a}_{2}{a}_{n+1}}$，故$\frac{{a}_{1}+{a}_{n+2}}{2}$≥$\sqrt{{a}_{2}{a}_{n+1}}$；
选项C正确，由等比数列的性质可得a_n+1²=a_na_n+2，即a_n+1一定是a_n与a_n+2的等比中项；
选项D错误，（±a_n）²=a_n-ra_n+r，故a_n-r与a_n+r（r＜n，r，n∈N^*）的等比中项可能为-a_n．
故选：D．

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质和等比基本不等式，属基础题．