Question

已知F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的任意一点，若

|PF2|2

|PF1|-|OA|

存在最小值为12a，则双曲线离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的定义，结合基本不等式，

|PF2|2

|PF1|-|OA|

存在最小值为12a，即可求出双曲线离心率e的取值范围．

解答： 解：∵F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，
代入

|PF2|2

|PF1|-|OA|

=|PF₁|-a+

9a2

|PF1|-a

+6a≥6a+6a=12a，
当且仅当|PF₁|=4a时取等号．
∵P为双曲线左支上的任意一点，
∴|PF₁|≥c-a，
∴4a≥c-a，
∴e≤5，
∵P是双曲线左顶点时，|PF₁|=c-a，同时

|PF2|2

|PF1|-|OA|

存在最小值为12a，
∴|PF₁|-a＞0，
∴c-a＞a，
∴e＞2，
∴2＜e≤5．
故答案为：2＜e≤5．

点评：本题考查双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．