Question

已知函数
（I）求f（log₂3）的值
（II）证明f（x）的是奇函数；
（III）求f（x）的值域．

Answer 1

解：（I）∵函数，
∴f（log₂3）===．
（II）∵，
∴f（x）的定义域为R，
∵
=
=-
=-f（x），
∴f（x）为R上的奇函数．
（III）==1-，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴f（x）的值域是（-1，1）．
分析：（I）由函数，知f（log₂3）=，由此利用对数的恒等式，能求出结果．
（II）由，知=-=-f（x），由此能证明f（x）为R上的奇函数．
（III）由=1-，利用2^x＞0，得，由此能求出f（x）的值域．
点评：本题考查对数恒等式的应用和对数奇偶性的证明，求对数函数值域的方法，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．