Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足6S_n+1=9a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=

1

an

，求数列{b_n}和{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=

1

an

=

1

3n-2

，利用等比数列的前n项和公式即可得出T_n．

解答： 解：（I）∵6S_n+1=9a_n（n∈N^*），
∴当n≥2时，6S_n-1+1=9a_n-1，
6a_n=9a_n-9a_n-1，
化为a_n=3a_n-1，
当n=1时，6a₁+1=9a₁，解得a₁=

1

3

．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为

1

3

，公比为3．
∴a_n=

1

3

×3n-1=3^n-2．
（II）b_n=

1

an

=

1

3n-2

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

3[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

9

2

[1-(

1

3

)n]．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．