Question

比较大小：

（1）log_0.27和log_0.29；                           

（2）log₃5和log₆5；

（3）（lgm）^1.9和（lgm）^2.1（m＞1）；       

（4）log₈5和lg4.

Answer 1

思路解析：本题大小比较代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择.

（1）log_0.27和log_0.29可看作是函数y=log_0.2x当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log_0.2x在（0，+∞）上单调递减，得log_0.27＞log_0.29.

（2）考察函数y= log_a x底数a＞1的底数变化规律，函数y=log₃x（x＞1）的图象在函数y=log_6x（x＞1）的上方，故log₃5＞log₆₅.

（3）把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm＞1即m＞10，则（lgm）^x在R上单调递增，故（lgm）^1.9＜（lgm）^2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，则（lgm）^x在R上单调递减，故（lgm）^1.9＞（lgm）^2.1.若lgm=1即m=10，则（lgm）^1.9=（lgm）^2.1.

（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log₈5＞lg5＞lg4，即log₈5＞lg4.

答案：（1）log_0.27＞log_0.29.（2）log₃5＞log₆5.（3）m＞10时，（lgm）^1.9＜（lgm）^2.1;m=10时，lgm=1，（lgm）^1.9=（lgm）^2.1;1＜m＜10时，（lgm）^1.9＞（lgm）^2.1.（4）log₈5＞lg4.