Question

3．已知函数$f（x）=sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，其最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由题意可得函数g（x）与y=-k在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象可得k的范围．

解答 解：（1）由题意知函数$f（x）=sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，其最小正周期为$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$，∴ω=2．
所以f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将f（x）的图象向右平移个$\frac{π}{8}$个单位后，得到y=sin（4x-$\frac{π}{3}$） 的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象．
所以g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
因为0≤x≤$\frac{π}{2}$，所以-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
g（x）+k=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个实数解，即函数g（x）与y=-k在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-k=1，即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或k=-1．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象，属于中档题．