Question

18．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*），设其前n项和为S_n，则使S_n＜-4成立的最小自然数n等于81．

Answer 1

分析 求得a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$=log₃n-log₃（n+1），运用裂项相消求和求得S_n=-log₃（n+1），再由对数不等式的解法可得n的范围，进而得到n的最小值．

解答 解：a_n=log₃$\frac{n}{n+1}$=log₃n-log₃（n+1），
即有前n项和为S_n=log₃1-log₃2+log₃2-log₃3+…+log₃n-log₃（n+1）
=-log₃（n+1），
由S_n＜-4，即为log₃（n+1）＞4，
解得n+1＞81，即有n＞80，
则n的最小值为81．
故答案为：81．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查对数的运算性质和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．