Question

如图，圆弧BCD的圆心P在y轴上，直线AB切圆弧于B，若A（-3，0），C(0，

2

+1)，D（1，0）
（1）求曲线ABCD的方程；
（2）曲线ABCD和x轴围成的图形面积．

Answer 1

分析：（1）设圆心为E（0，a），根据EC=ED，所以（

2

+1-a）²=1+a²，解得a=1，从而可求圆的方程为x²+（y-1）²=2．设过AB的直线为y=k（x+3）（k＞0），则利用直线AB切圆弧于B，可求k=1，及切点坐标，故可得ABCD的方程，一段为AB，一段为BCD；
（2）连接BE，则BD为圆E的直径，从而曲线ABCD和x轴围成的图形面积等于Rt△ABD的面积加上半圆的面积，故可求．

解答：解：（1）设圆心为E（0，a），则EC=ED，所以（

2

+1-a）²=1+a²，解得a=1，所以圆的方程为x²+（y-1）²=2．
过AB的直线为y=k（x+3）（k＞0），则d2=

(-1+3k)2

k2+1

=2，∴k=1，切点坐标为（-1，2）
∴ABCD的方程，一段为AB：x-y+3=0（-3，-1），一段为BCD：x²+（y-1）²=2（-1＜x＜

2

）．
（2）连接BE，则BD为圆E的直径
∴曲线ABCD和x轴围成的图形面积等于Rt△ABD的面积加上半圆的面积
即

1

2

×4×2+

1

2

×π×2=π+4

点评：本题以曲线为载体，考查方程的求解，考查曲线围成的图形的面积，属于中档题