Question

已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为（　　）

• A、

  4π

  3

• B、4

  3

  π
• C、

  24 6 π

  3

• D、

  8 2 π

  3

Answer 1

分析：根据正方体的全面积求出正方体的棱长，根据球与每条棱都相切，得到球的半径和正方体的棱长之间的关系，进而求出球的体积．

解答：解：∵正方体的全面积为24，设正方体的棱长为a，
∴6a²=24，即a²=4，
解得a=2，
∵球与每条棱都相切，
∴球心O到各棱的距离相等，即侧面正方形的对角线等于球的直径2R，
正方体侧面正方形的对角线为2

2

，
∴2R=2

2

，
解得球的半径R=

2

，
∴球的体积为

4

3

π•(

2

)3=

8 2

3

π，
故选：D．

点评：本题主要考查正方体和球相切的问题，利用球和棱相切的关系单调球直径和正方体面对角线之间的关系是解决本题的关键，要求熟练掌握球的体积公式．